2的x次方的导数

时间:2024-04-22 08:10:59编辑:小宁
一、隐函数求导

1、什么是隐函数?

能直接表示成y=f(x)这种形式的为隐函数,无法将x表达成y的函数但是又有x和y关系的函数为隐函数,例如:e^(x+y)=x^2+y+1这种式子很难将y解出来。

2、如何求导?

如果F(x,y)确定,即x和y的关系确定,那么求dy/dx时,将y看成f(x),y求导后变为dy/dx即可

例1:e^(x+y)=x^2+y+1确定y为x的函数,求dy/dx

方程两边对x求导:

d(e^(x+y))/dx=d(x^2+y+1)/dx

e^(x+y)*(1+dy/dx)=2x+dy/dx

(dy/dx)(e^(x+y)-1)=2x-e^(x+y)

dy/dx=[2x-e^(x+y)]/[e^(x+y)-1]

例2:x^y=y^x, (x>0,y>0)

ln(x^y)=ln(y^x)

ylnx=xlny

两边对x求导

d(ylnx)/dx=d(xlny)dx

dy/dx*lnx+y/x=lny+x/y*dy/dx

(dydx)(lnx-x/y)=lny-y/x

dy/dx=[lny-y/x]/[lnx-x/y]

例3:2^(xy)+3x=y,求y'(0), y''(0)

当x等于0时,y=1

两边对x求导

2^(xy)*ln2*[y+xy']=y'(1)

x=0,y=1带入得y'(0)=ln2+3

(1)式继续对x求导

ln2[2^(xy)*ln2(y+xy')+2^(xy)*(y'+y'+y'')]=y''

将x=0,y=0,y'(0)=ln2+3带入得

y''(0)=(3ln2+6)ln2

二、参数方程确定的函数求导

1、参数方程确定的函数:

类似于x=g(t),y=h(t),来确定y和x之间关系称为由参数方程确定的函数

2、定理

若有参数方程:x=g(t),y=h(t),其中g(t),h(t)可导,切g(t)≠0

则:dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=h'(x)/g'(x)

证明:

g'(x)=lim(Δt->0)Δx/Δt≠0=>Δx=O(Δt)

dy/dx

=lim(Δx->0)(Δy/Δx)

=lim(Δx->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]

∵ Δx=O(Δt)

∴ dy/dx

=lim(Δt->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]

=[lim(Δt->0)(Δy/Δt)]/[lim(Δt->0)(Δx/Δt)]

=h'(x)/g'(x)

即证!

例4:x=arctant,y=ln(1+t^2),求dy/dx

dy/dx

=(dy/dt)/(dx/dt)

=(2t/(1+t^2))/(1/(1+t^2))

=2t

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