一、判定正项级数的敛散性二、判定交错级数的敛散性三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域四、求幂级数的和函数与数项级数的和五、将函数展开为傅里叶级数。
一、判定正项级数的敛散性
1、先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步）。若不趋于零，则级数发散如果趋于零，则考虑其它方法。
2、再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数
3、用比值判别法或根值判别法进行判别
4、再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.
二、判定交错级数的敛散性
1、利用莱布尼茨判别法进行分析判定.
2、利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.
3、一般情况下，若级数发散，级数未必发散但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散.
4、有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.
三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
1、若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间，再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.
2、对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径，也可作代换，换成t的幂级数，再求收敛半径.
四、求幂级数的和函数与数项级数的和
1、求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和.
2、求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.
五、将函数展开为傅里叶级数
将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。
